空間平面方程式介紹

(空間平面研究系列之一)

1.前言

有關空間平面方程式在很多岩坡工程、構造地質學方面應用非常廣泛，本人曾在2008年寫了(1)構造地質學，(2)岩坡工程學，(3)Excel在邊坡工程之應用等三本書，書中很多重要之章節，多與以平面方程式有關，尤其是構造地質學，幾乎是以空間平面方程為論述基礎，極適合非地質出身之工程人員研讀。目前此三本書初版(初版書誤值多處，部份圖幅也不夠清楚)合約已過期甚久，有鑑於此現今電腦程式語言(含Excel)功能日新月異，為因應軟體程式改進、升級，及配合數學工具精簡，目前正尋覓出版商再版中，特再此致歉及聲明。本人一向喜愛以簡單的數學工具詮釋岩坡工程及地質問題，期藉在技師報刊登一系列相關的空間平面研討，分享讀者，如需更完整內容，可上http://www.chday169.url.tw網站搜尋。

2.座標系統

有關本報告所引用座標系統(詳圖2.1)，採用x為水平面(或赤道面)上指北(N)座標，y為水平面上指東(E)座標，z則為垂直x、y平面之朝下座標，且x、y、z互相垂直並成右手(大拇指朝下)螺旋定則。傾向方向(α，Dip direction)或稱傾向即傾斜平面上物體沿斜坡自由滑動之水平投影方向，與走向(圖2.1之ST線段)垂直。α以順時針方向由北起算為正，傾角(Dip angle)β則為x、y水平面與任意直線向量或不連續面傾向向量(Dip vector，圖2.1之OA [x,y,z] (英文字母下加底線或中括弧包夾三個文字或數字者代表向量)之夾角，夾角由水平面向下量測為正。以單位球體座標(1，α，β)表示之朝下單位位置向量，

r=[x,y,z] =[cosαcosβ,sinαcosβ,sinβ]

垂直於朝下單位位置向量r的單位法線為

n=[a,b,c]=±[-cosαsinβ, -sinsαsinβ,cosβ]

一般應用在工程地質時，因岩層位態(走向-傾角或走向-傾角)資料，習慣採用下半球投影(3D平面旋轉問題除外)圖示，因此單位位置及法線向量多取z及c值為正。如以三角函數表示時，位態為(130/30)與(310/210)，表示同一個平面；(130/30)則與(310/30)走向相同之背對背兩等斜平面。

如果讀者習慣採用左手螺旋定則，則配合傾向角度旋轉方向(順時針)，則大拇指應朝上，因此單位位置及法線向量多取z及c值為負，即原單位球體天頂(Zenith，等角度、等面積投影公式演導使用到)應由右手螺旋座標之(0,0,-1)，改為(0,0,1)，即凡是在右手螺旋座標使用的(+z)值，應用到左手螺旋定則改使用(-z)。 

Excel圖表中或VB(含Vb Net)畫圖作業中，x軸多以水平軸指右為正，y軸朝北為正，按右手螺旋定則，則z軸朝上為正。在此要提醒讀者的是，如不考慮以電腦繪圖，則單位位置向量r之z值以採取正值朝下；單位法線向量n的c值，同樣採取正值朝下為準，即

r=[x,y,z] =[cosαcosβ,sinαcosβ,sinβ]

n=[a,b,c]=[-cosαsinβ, -sinsαsinβ,cosβ]

如此等角度及等面積投影圖(將另專文討論)下半球之極點投影點與單位位置向量投影點位置角度間隔才會90°。

圖2.1直角座標系統示意圖

如配合電腦製圖，則岩層之傾向/傾角(α/β)必須使用[(450-α)/β]代入上述兩公式；或是不改變(α/β)直接計算單位位置向量及單位法線向量，然後將(a,b)及(x,y)互換，即以(b,a,c)及(y,x,z)為繪圖依據。如下表中岩層位態[180/30，座標系統採x(N),y(E)]，則等角度投影座標為(-0.5774,0.000)，電腦繪圖時[座標系統採x(E),y(N)，則等角度投影座標為(0.000,-0.5774)。人工繪等角度投影時以(-0.5774,0.000)為準，電腦繪圖(Vb 6,Vb Net,Excel等)則以(0.000,-0.5774)為準繪製，不應混淆。

3.空間平面介紹

考慮如圖3.1所示之平面PL-E上一定點S(xs,ys,zs)，及另一動點P(x,y,z)，如座標原點在O(0,0,0)，則向量OS=[xs-0,ys-0,zs-0]，OP=[x-0,y-0,z-0]，PL-E上之任一位置向量為R，i.e., R=PS=[x- xs,y-ys,z-zs]，今有一垂直於PL-E之法線向量N =[A,B,C] ，則因R在PL-E上，且 N 與R互相垂直，即N•R =Cos(90°)=0，

i.e  A(x-xs)+B(y-ys)+C(z-zs)=0，即 Ax+By+Cz= A*xs+B*ys+C*zs，如令

D=A*xs+B*ys+C*zs，則  Ax+By+Cz=D……………… (3.1)

             圖3.1空間平面示意圖

上式代表N與R所定義之空間平面方程式，如PL-E通過座標原點O(0,0,0)，即空間平面通過地球球心時，則D=0，

故Ax+By+Cz=0……………… (3.2)

方程式(3.1)中，如z(高程)= k(常數)時，空間平面方程式Ax+By+Cz＝D，可化為Ax+By =D-Ck=E之直線系(等高線)方程式，i.e.

 Ax+By=E……………… (3.3)

上述直線系代表不連續面在平面上之等高線(走向)系，如要以向量(取方位角較小之方向)表示時，為L=[-B,A,0]。式(3.3)微分可得：(dy1/dx1)= -A/B=tan(ρ)(ρ為等高線在水平面與x(N)軸在x-y平面之夾角)。為幫助讀者瞭解空間平面方程式真正意涵，今觀察如圖3.2之圖示，圖3.2中ABCDEFGH為長、寬、高各為1單位長度之立方體(直線AB方向可以任意，為方便計此處採用與指北平行)，平面ABGH座標分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,1)及(0,1,1)，將點A、B、G及H座標代入公式(3.1)後，解A、B、C及D四個聯立方程式得：A=0、B=-C、C=C及D=0。即代表平面ABGH之方程式為 -Cy+Cz=0，即 y-z=0；另外解通過點A、B、G及H四個聯立方程式中之任意三個，亦可得出 y-z=0之關係。如考慮平面pqrs，則解通過p、q、r及s四點聯立方程式，則得出A=0、B=D、C=-D及D=D，即平面為： 2y-2z=1。同樣解通過p、q、r及s四點聯立方程式中之任意三個，則一樣可得 2y-2z=1。公式(3.2)中如D=0，則變數僅為三個；如D≠0，則公式(3.1)改寫成如(A/D)x+(B/D)Y+(C/D)=1後變數亦為三個。因此我們可以得到下面之重要觀念『空間平面可以不在同一直線上之任意已知三點(非四點)座標完全定義界定』。平面 y-z=0與 y-z=1公式左端相等或成比例關係，故兩平面相互平行。

    另檢視平面ABGH( y-z=0)，當z=任意常數時，如令z=1時，平面y-z=0退縮成直線y=1(平行於x軸之鉛垂面)，此代表平面等高線為南北向。另由向量AB=[1,0,0]，與向量AH=[0,1,1]的叉積，可得垂直於平面ABGH之法線N ，

N=[A,B,C]=  =[ 0,-1,1]=[0,-1/2,1/2]

另平面pqrs中，pq=[1,0,0]，ps= [0,1/2,1/2]，平面pqrs之單位法線向量n=[0,-1/2,1/2]。故平面ABGH與平面pqrs相互平行。

圖3.2單位立方體與平面關係示意圖

式3.1之3D平面方程式，如令L=sqrt(A^2+B^2+C^2)，即a=A/L，b=B/L，c=C/L，d=D/L=cos(φ)，n=N/L，則平面方程式Ax+By+Cz=D可改寫為ax+by+cz=d，或

n•r= cos(φ)。圖3.3中單位球體在水平面上之投影稱為基圓(Primitive circle)，不通過球心之平面ax+by+cz=d稱為小圓(small circle)，通過球心之平面ax+by+cz=0，叫大圓(great circle)，大圓為小圓的特例。方程式n•r= cos(φ)可視為單位位置向量r繞單位法線向量n(兩者夾角為φ)旋轉360°後，在單位球體所劃過之軌跡；亦可視為單位法線向量n為繞單位位置向量r旋轉後，在單位球體所掃過之軌跡。

如小圓周上任意點座標(xb,yb,zb)已知，則小圓軌跡，可藉由(xb,yb,zb)繞On’每次旋轉若干角度(▽θ)，旋轉一周360°後所掃過之軌跡。至於小圓軌距繪製，可藉由先解出符合ax+by+cz=d，x^2+y^2+z^2=1，及sqrt(a^2+b^2+c^2)=1三條件之任意點(如圖3.4之b點)，然後以On’為軸，旋轉Ob一周360°後所掃過之軌跡。

4.繞任意軸旋轉的函數

岩樣鑽探(Core drilling)的岩樣(Core sampling)斜面傾向向量繞斜面法線求岩層位態，摩擦錐繪製，等角度與等面積大小圓投影(網)圖製作問題，多屬單位位置向量繞單位法線向量旋轉問題；而岩樣(Core)斜面法線繞鑽探孔中心線向求位態，屬單位法線繞單位位置向量旋轉問題。有關3D點座標旋轉原理，可參考David Rogers & J. Aian Adams合著之Mathematic elements for computer graphics空間任意軸旋轉演算，或連結Glenn Murrayhttp://inside.mines.edu/~gmurray/ArbitraryAxisRotation

/ArbitraryAxisRotation.html。Glenn Murray(2013)利用齊次座標(x,y,z,1)轉換原則，以通過定點(a,b,c)平行於方向向量[u,v,w]之直線為中心軸，將三維座標(x,y,z)，旋轉一個θ角後，利用十個自變數(x,y,z,a,b,c,u,v,w,θ)定義函數f(x,y,z,a,b,c,u,v,w,θ)為：

f(x,y,z,a,b,c,u,v,w,θ)=                                    

x=

+

y=

+

z=

+

有關上述旋轉公式的VB程式碼，可上網站http://www.chday169.url.tw的網頁中”Ration/reflectin(3D)”複製電腦程式。至於解符合三非線性聯立方程式ax+by+cz=d，a^2+b^2+z^2=1，x^2+y^2+z^2=1之任意點座標的電腦求解程式，可上改網站http://www.chday169.url.tw下載電腦程式或直接由Excel VBA複製。

圖3.3空間平面與單位球體斜交關係示意圖

5.大小圓軌跡計算及投影

平面3D大、小圓座標計算，不管是在電腦製圖及以後要討論的等角度、等面積投影(網)製圖多會使用到，因此特別在此舉例說明。一般3D大、小圓軌跡座標計算之電腦作業，可歸納為下列幾個步驟:

(1)   計算z=0時，在大(小)圓上之任意點座標(xb,yb,zb)，此處zb=0時之單位向量為走向向量(取兩角度較小者)。

(2)   以(xb,yb,zb)為起點，繞單位法線向量[a,b,c]旋轉，每次旋轉n*angde( angdel=5~10° , n=360/angdel)計算旋轉後之座標(xr,yr,zr)

(3)   計算(xr,yr,zr)對應之透視投影座標(xp,yp,zp)

(4)   繪製3D透視投影及平面圖。

(5)   如必要，可同時計算每次旋轉座標(xr,y,r,zr)處單位位置向量的方向角(即傾向，與走向垂直)，及其與水平面之夾角(視傾角)，及起點走向單位位置向量與(xr,yr,zr)之夾角(即側傾角)。

表5.1為求平面3x+4y+2z=0大圓上任意點的Excel試算表求解成果；表5.2為求平面大圓上任意點利用Excel VBA解題者；表5.3為平面大圓(D=0)軌跡利用Excel VBA的解答成果及圖示；表5.4為平面小圓(3x+4y+2z=2，透視參數d=30,θ=30°,φ=30，以下同°)軌跡利用Excel VBA的解答成果及圖示。圖5.4為平面大圓軌跡利用VB程式解答成果及圖示；圖5.5為平面小圓軌跡利用VB的解答成果及圖示。圖5.4及5.5中粗藍色線條為透視投影，紅色線條為每次旋轉10°時對應之點透視投影，小圓點為平面法線投影點，圖5.5中藍色輻射線部份為小圓圓心投影與各旋轉點投影的連線。Excel VBA及VB程式大小圓均適用，相關程式及試算表可上http://www.chday169.url.tw複製或下載。

表5.1求平面(D=0)大圓上任意點Excel試算表(僅適用D=0)

表5.2求平面大圓上任意點試算表(Excel VBA，大小圓均適用)

表5.3求平面大圓(3x+4y+2z=0)軌跡座標及透視投影(Excel VBA，大小圓均適用)

表5.4求平面小圓(3x+4y+2z=2)軌跡座標及透視投影(Excel VBA)

圖5.4求大圓(3x+4y+2z=0)軌跡及透視投影(VB)

圖5.5求大圓(3x+4y+2z=2)軌跡及透視投影(VB)

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上次修改此網站的日期： 2018年12月02日