空間平面與岩層位態

空間平面與岩層位態

(空間平面研究系列之二)

1.前言

所謂岩層位態(Attitude)，指的就是走向(Strike)-傾角(dip)或傾向(Dip direction)/傾角。一般採用簡記如(085/50)，或(N05W,50E)或(S05E,50E)，都代表同一個平面。走向與傾向互為垂直。

在測量作業中，直線方向是以方向角或方位角定義的。方向角(Bearing)又稱象限方向角，為自N或S起算，向左或右量測之角度，其大小介於0及90間，標記方式以英文字母『N』或「S」開始，後面以『E』或「W」字母收尾，如N30°E，N45°W等；方位角(Azimuth)則又稱全圓方位角，其完全以指北起算，依順時針方向量度，標記如185。兩者之關係可以參考圖1.1。而部份地質學家則以Bearing代替Azimuth，Bearing是方位角，也就是一般工程師所稱之傾向。

圖1.1方向角與方位角

2.位態相關常用地質名詞

在討論到岩層位態，必須先瞭解與位態有關的常用地質名詞，在此我們將盡

可能以比較符合數學概念的方式來定義地質名詞，讓讀者能瞭解其真正意義，同

時很快的懂得如何應用數學方式求解相關問題。

2.1露頭(Outcrop)

露頭為自然作用致使地下岩層露出而可憑觀測者，常在峭壁、河谷、山區之深開挖地層或採礦場邊坡上出現。

圖2.1走向、傾向、傾角等示意圖

2.2傾向向量(Dip vector)

傾斜平面上沿重力方向滑動之直線位置向量，或傾斜平面上與走向垂直之直線向量。圖2.1中傾斜平面CBGH上OP、BG或CH即為平面CBGH之傾向向量。

如單位位置向量為[x,y,z]，則傾向α=Atan2(y,x)，傾角β=Asin(z)。

2.2.1傾向(Dip direction)

斜坡面上與走向垂直之直線位置向量，圖2.1中傾斜平面CBGH上OT、BE或CF即為平面CBGH之傾向，其水平方位角(由北起算)為∠NOT。如單位傾向向量為[x,y,z]= [cos(α)cos(β),sin(α)cos(β),sin(β)]，則傾向如以單位向量表示為[cos(α)cos(()),sinαcos(0),sin(0)]。

2.2.2正傾角(Dip)

傾斜地層之不連續面單位傾向向量與自身水平投影之夾角，圖2.1中傾斜平面CBGH上OT平行於AB 或DC，OP垂直於CB，故OP之正傾角為∠FCH、∠EBG或∠TOP。如傾向向量為[x,y,z]，則傾角β=Asin(z/sqrt(x^2+y^2+z^2))，或β=Acos{[cos(α)cos(β),sin(α)cos(β),sin(β)]?[cos(α)cos(()),sinαcos(0),sin(0)]}

或β=Acos{[x,y,z] ? [x,y,0]/sqrt(x^2+y^2+z^2)/sqrt(x^2+y^2)}。

2.2.3走向(Strike)

走向為傾斜地層之不連續平面上等高線之方位角，為非向量。圖2.1傾斜平面CBGH上直線CB或HG為走向線，水平面上之∠NOB為走向CB之銳角走向角。計算時可選用角度較小方向的位置向量表示，以單位球體座標表示，如傾向/傾角為α/β，則走向單位位置向量為[cos(α-90)cos((0),sin(α-90)cos(0),0]。

2.2.4視傾角(Apparent dip)

視傾角為任意直線向量與其自身在水平面投影之夾角，其值小於正傾角，只有在直線與構造面傾向相平行時，才等於正傾角。圖2.2中平面AFGD上在AG方向之視傾角為∠CAG；而在AX方向之視傾角為∠YAX。

圖2.2正傾角、走向、視傾角、側傾角及傾沒角等示意圖

2.2.5線向(Trend)

線向為直線之傾向。圖2.2.中上AG直線之線向為AC或EG。

2.2.6傾沒角(Plunge)

傾沒角為直線之傾角，為位置向量與走向之夾角。圖2.2中AG直線之傾沒角為∠CAG。如直線向量為[x,y,z]，則傾沒角q=Asin[z/sqrt(x^2+y^2+z^2)]

2.2.7側角或側傾角(Pitch or rake)

側角或側傾角為傾斜地層上直線與該地層走向之夾角。圖2.2中傾斜地層AFGD上AG直線與AD走向線銳角之側角為∠DAG。如直線向向量為[x,y,z]，走向向量為[s,t,0]，則傾沒角q=Acos{[x,y,z] ? [s,t,0]/sqrt(x^2+y^2+z^2)/sqrt(s^2+t^2)}

3.走向-傾角轉換為傾向/傾角

一般地表地質的野外調查工作，多利用地質羅盤(geological compass)直接量測岩層不連續面之位態、間距、填充物、粗糙度等。地質羅盤種類繁多，何種最為適合?完全取決個人習慣，只要能量測到最正確完整資料，即符合要求。在野外有些構造線位置在人員不能直接到達，或真正之位態不能直接量測時，此時可利用下列方式之一以間接方式取得。

(1)量測同一不連續面上任兩直線之傾向/傾角，利用向量叉積之特性或作圖法求解兩直線共平面。

(2)同一不連續面上構造線，在不同觀測點，利用地質羅盤(附有望遠鏡者)量測其在視線投影面上之側角，先求含構造線之投影平面線向/傾角，再求含投影線之兩平面交線，最後求出構造線所在之真正位態。

(3)利用測量儀器，測量不連續面上任意3點不共線之(x,y,z)座標求平面之真正位態。

野外地質調查時，一般地質師多喜歡將走向-傾角標記為NxxxE(W)-yyE(W)。如何將走向-傾角轉換為傾向/傾角，可依照下列原則處理：

(1) NxxxE走向，傾角yyE時，傾向=(xxx+90)°，傾角=yy°

(2) NxxxE走向，傾角yyW時，傾向=(xxx+270)°，傾角=yy°

(3) NxxxW走向，傾角yyE時，傾向=(90-xxx)°，傾角=yy°

(4) NxxxW走向，傾角yyW時，傾向=(270-xxx)°，傾角=yy°

3.座標系統與空間平面

有關本報告所引用座標系統(已在V字法則介紹過，詳圖3.1)，採用x為水平面(或赤道面)上指北(N)座標，y為水平面上指東(E)座標，z則為垂直x、y平面之朝下座標，且x、y、z互相垂直並成右手螺旋(大拇指朝下)定則。單位位置及單位法線之朝下向量，以單位球體座標(1，α，β)表示為：

r=[x,y,z] =[cosαcosβ,sinαcosβ,sinβ]

n=[a,b,c]=[-cosαsinβ, -sinsαsinβ,cosβ]

圖3.1直角座標系統示意圖

考慮一般平面方程式(圖3.1):

Ax+By+Cz=D……………… (3.1)

圖3.2空間平面示意圖

如其通過座標原點O(0,0,0)，即空間平面通過地球球心時，則D=0，

故Ax+By+Cz=0……………… (3.2)

方程式(3.1)中，如z(高程)= k(常數)時，空間平面方程式Ax+By+Cz＝D，可化為Ax+By =D-Ck=E之直線系(等高線)方程式，i.e.

Ax+By=E……………… (3.3)

上述直線系代表不連續面之走向方程式，如要以向量(取方位角較小之方向)表示時，為L=[-B,A,0]。式(3.3)微分可得：(dy1/dx1)=-A/B=tan(ρ)( ρ為走向線與x(N)軸在x-y平面之夾角)，另由位置向量定義(B/A) =sin(α)sin(β)/cos(α)sin(β)= =tan(α)=(dy2/dx2)，此表示α與ρ相差90°。

圖3.3單位立方體與平面關係示意圖

圖3.3中平面ABGH之∠DAH為因其為平面DAH為鉛垂面(平行於包含平面ABGH之傾向與傾向向量)，故其正傾角(β)，利用兩相量點積定義可得：

cos(β)==，β=45.0°，另由AH=[0,1,1]=[0,,]

=[cos(α)cos(β),sin(α)cos(β),sin(β)]，可得α=90°，β=45.0°。

平面ABGH上向量任意向量AG=[1,1,1]，因其不與走向垂直，故∠CAG為視傾角q，AC為向量AG在水平面上之投影，稱之為線向，

AG與走向AB夾角∠BAG為AB在傾斜平面ABGH上之側傾角或側角p。AG視傾角∠CAG，依向量點積公式，由 cos(q)==，q=35.264°。另AG =[1,1,1]= (,,)= [cos(p)cos(q),sin(p)cos(q),sin(q)]

，可得p=45°，q=35.264°。側傾角∠BGA=cos ()=54.736°。

上述解法可另由平面方程式定義及向量觀念求得相同結果。如令平面上任意單位位置向量[xc,yc,zc]= [cos(p)cos(q),sin(p)cos(q),sin(q)]

，則由平面上任意向量必須與其平面法線相互垂直，則平面方程式可寫成

acos(p)cos(q)+ bsin(p)cos(q)+csin(q)=0……………… (3.4)

式(3.4)中如p已知，則可解出視傾角(q)；反之，如q已知，則可解出線向(p)。另如平面之位態(α/β)已知，則平面走向向量與任意線向向量[xc,yc,zc]

之側傾角(γ)，可由走向向量(兩方向角取較小者)與其平面上任意線向向量之點積求得：

Cos(γ)= [cos(α-90)cos(0),sin(α-90)cos(0),sin(0)]‧[cos(p)cos(q),sin(p)cos(q),sin(q)]

=[cos(α-90,sin(α-90),0)‧[cos(p)cos(q),sin(p)cos(q),sin(q)] ………… (3.5)

以(150,30)為例，[a,b,c]=[0.4430,-0.2500,0.8660]，求其在p=80時之視傾角q：

(0.4430*0.1736-0.2500*0.9848)cos(q)+0.8660sin(q)=0 ,ie.

0.1682cos(q)=0.2462sin(q) à q=11.11°

線向位態(80/11.11)時，單位位置向量[xc,yc,zc]=[0.1704,0.962,0.1937]，則

cos(γ)=[0.4430,-0.2500,0.8660] [0.1704,0.962,0.1937] =0.9219 à γ=22.80°

表3.1為利用Excel試算表計算130/30平面上傾向變化時視傾角及側傾角之結果。

表3.1 30/30平面上傾向變化時視傾角及側傾角

4.空間平面三已知點求岩層問題

已知空間平面上不共線3已知點求解平面方程式之問題，是初、高中簡單數學問題，本不值得討論。但在地質學上，3鑽探孔位置岩心座標求岩層位態，岩層不連續面上不共線3點座標，露頭地質圖岩層位態求解(含作圖法或數學法)等多屬三點問題(Three point problem)，因其涉及如何取得正確的方位角?如下面之露頭地質圖(圖4.1)上，取同一條露頭線上任意3點(如取高程相等2點最為方便，3點間距愈大答案愈正確)，高程相等2點連線方向角為走向，自第3點作走向線之垂直線，量取第1點位置與第3點位置高程差絕對值∣z∣除以第3點至垂足點水平距離(h)，則傾角β=Atan(∣z∣/h)。至於數學解法，則有2向量叉積(Cross product)及解聯立方程解法。假定平面方程式為ax+by+cz=d(d≠0)，將3點座標代入方程式中可得: