空間平面與構造平面交線

(空間平面研究系列之五)

1.前言

   在岩坡穩定規劃、分析工作中，經常需處理露頭之不連續面：節理、層面與斷層相互間之交線，首先讓我們觀察圖1.1(a)兩完全平行傾角完全相等(指角度大小及傾斜方向都相同)之3D平面是永不會相交；兩傾向或傾角不相等之空間平面，必定會相交，如圖1.1(b)之兩平面走向平行但傾角不等(角度大小相同傾斜方向不同)則其交線與原走向線平行；另如圖1.1(c)中兩平面走向不平行則其交線與原走向也不平行。一般地質之位態及傾斜平面位置屬相對問題，為簡化問題如將傾斜平面假定通過地球球心，則其交線之單位向量[ux,uy,uz]之起點為地球球心(0,0,0)，而終點必須是(ux,uy,uz)。岩楔滑動方向與兩平面單位交線向量平行，岩楔是否滑動？與uz大小及符號有關，如座標取x(E)、y(N)及z(Up)螺旋定則，則uz<0時岩楔可能沿單位向量[ux,uy,uz]朝下坡滑動。兩平面交線之求解與岩楔穩定分析圖解法或數學解法關係密切，因此特闢專章介紹。

          圖1.1空間兩平面交線示意圖

2. 兩平面之交線

   首先讓我們來研究不通過地球球心之兩平面095/45及175/80，其單位朝下法線向量分別為[0.0616,0.7044,0.7071]及[0.9811,0.0858,0.1736]，則兩平面方程式可假定為：

0.0616x+0.7044y+0.7071z=d…………(A2.1)

0.9811x-0.0858y+0.1736z=d……………(A2.2)

式(A2.1)及(A2.2)中d及d為任意值，若兩平面交線通過已知點(x,y,z)，則式(A2.1)及(A2.2)可改寫為：

0.0616(x -x)+0.7044(y-y)+0.7071(z-z)=0…………(A2.3)

0.9811(x -x)-0.0858(y-y)+0.1736(z-z)=0……………A2.4)

將(z-z)視為已知，解(x -x)及(y-y) 可得x=x-0.08984(z-z)，y=y+0.9960(z-z)

，如令定點x=5，y=5，z=5且z-z=0，則z=5，x=5，y=5；如令z- z=1，則z=6，x=4.9102，y=5.9960，即點(5,5,5)及(-4.9102,5.9960,6.0000)為交線上之任意兩點，故交線向量比為(-0.08984︰0.9960︰1)，即向量為[-0.08984,0.9960,1.0000]=1.4142[-0.0635,0.7043,0.7071]

，交線單位向量u=[uix,uiy,uiz]= [-0.0635,0.7043,0.7071]。上述單位向量之求解與(x,y,z)值完全無關，因此在球體投影圖解法中可假定x=0，y=0，z=0而不失其代表性。交線單位向量之求解亦可由代表兩平面之單位法線向量叉積求得(詳下節)。表2.1為解聯立方程式之Excel試算表，表2.1中之Pt1~Pt3為平面095/45上之點；Pt1’~Pt6’平面175/80上之點。圖2.1為平面095/45及175/80 x-y，y-z，x-z平面圖及3D示意圖，圖中Pt1及Pt3(或Pt1’及Pt4’)連線為兩平面之交線，x-y平面圖及3D示意圖中Pt1及Pt2連線(即PR)為平面095/45之走向，Pt1’及Pt3’連線(即PS)為平面175/80之走向。圖2.1(d)中，如將Pt2與Pt1連線(即RP)，想像為觀測視線，通過Pt2之水平線(即RI)，想像為觀測儀器之十字絲，Pt1與Pt3連線(即PQ)，想像為峭壁露頭上不連續面之構造線，則Pt2與Pt3連線(即RQ)，即為觀測儀器鏡頭上之影像(Image)，Pt2與Pt3連線與通過Pt2之水平線(即RI)所成夾角，即為觀測儀器鏡頭上之視傾角。

如某構造面上之構造線PQ位態未知，但現場觀測視線向量位態及視傾角(或側傾角)已知時，由視傾角(或側傾角)定義可求出構造線影像向量RQ，而平面PQR可以RP與RQ兩向量之叉積定義， PQ位態為平面PQR及平面PQS之公交線。

表2.1聯立方程式求兩平面交線Excel試算表

圖2.1平面095/45及175/80 x-y，y-z，x-z平面圖及3D示意圖

2.2等角度大圓投影圖解法

兩平面交線球體投影圖解法，不論是等角度或等面積投影，均為投影基圓圓心與兩平面投影曲線交點之連線。

[例題E2.2]:

試繪製平面160/35與210/30之交線等角度投影圖？

[解答]:

(a)投影網圖解法

(1)先在透明紙上畫基圓及圓心(0,0)後標示NS軸，依一般平面描繪160/35之投影大圓及極點如圖E2.2.1a。

(2)依同樣程序描繪210/30之投影大圓及極點如圖E2.2.1a。

(3)連接圓心與大圓A、B兩弧交點間直線並標示為ab如圖E2.2.1b。

圖E2.2.1平面160/35及210/30交線等角度投影圖

(b)不用投影網之圖解法

(1)選擇適當位置為中心，以任意長度(ρ=1單位長度)為半徑，通過圓心畫相互垂直之兩直徑，直徑最上端標示北方(N)右端標示東方(E)。通過圓心量一角度(由北起算)等於傾向160°畫半徑OM(傾向之投影方向)，畫與傾向垂直之直徑TT’(平面走向之投影位置)。

(2)沿傾向之投影方向(由圓心起算)量取距離OA=ρtan(45°-β/2)

=tan(27.5°)=0.5206單位長度，OA代表通過地球中心之平面沿重力滑動方向(傾向)朝下單位向量在下半球之投影，如為朝上單位向量則改為上半球投影，其投影為OA’(OA’距離等於OA但方向相反，即OA’為OA之反向量)。

(3)過T、A、T’三點畫圓弧，或以(-cos160°tan35°，-sin160°tan35°)，即(0.6580，-0.2395)為圓心，半徑為1/cos35°=1.22單位長度畫圓弧。圓弧TAT’即代表通過地球中心之平面(即ax+by+cy=d=0，[a,b,c]為平面單位法線)在水平面投影大圓A。

(4)沿OA反向量取OP1=tan(β/2)=0.3153單位長度，點P1即160/35之極點投影(圖E2.2.2)。

(5)平面B之作法同平面A。

(6)連接圓心與大圓A、B兩弧交點間直線並標示為ab。

(7)交線ab之傾向為Atan2(-0.1677,-0.5607)=196.65°，由

cos(196.65)tan(45-β/2)=-0.5607，可得β=29.33°。

圖E2.2.2平面160/35及210/30交線等角度投影圖

2.3 向量叉積解法

(1)平面160/35及210/30之朝下單位法線向量分別為[nx1,ny1,nz1]=[0.5390,-0.1962,0.8192]，

[nx2,ny2,nz2]=[0.4330,0.2500,0.8660]，交線向量U

U== i - j +k=[-0.3747,-0.1121,0.2197]

=0.4486[-0.8353,-0.2498,0.4989]

did=Atan2(-0.2498,0.8353)=196.65°

dip=Asin(0.4898)=29.33°

在此要特別提醒讀者，兩向量叉積為位置向量非法線向量，故由向量求傾向時不必加180°，傾角為Asin()非Acos()。

(2)表E2.2.3為利用兩平面法線向量叉積公式求交線之Excel試算表，表中

xprj(n)，yprj(n)為平面之朝下單位法線向量等角度投影位置，xprj，yprj為交線單位向量等角度投影位置。xicen，yicen及ricen分別為以交線單位向量之平面等角度投影大圓心x、y座標及半徑。

表E2.2.3利用兩平面法線向量叉積公式求交線Excel試算表

2.4 聯立方程式解法

(1)平面160/35及210/30之朝下單位法線向量分別為[nx1,ny1,nz1]=[0.5390,-0.1962,0.8192]，

[nx2,ny2,nz2]=[0.4330,0.2500,0.8660]，故其對應之方程式可假定如

0.5390x-0.1962y+0.8192z=d1

0.4330x+0.2500y+0.8660z=d2

(2)平面交線方向與d1及d2值無關，故可假定交線通過(0,0,0)，即d1=d2=0

  如z=1，上兩式可改為

0.5390x-0.1962y=-0.8192

0.4330x+0.2500y=-0.8660

解方程式得x=1.7055,y=-0.5102

(3)交線向量為[1.7055,0.5102,1]=2.0418[0.8353,-0.2498,0.4898]

did=Atan2(-0.2498,0.8353)=196.65°，dip=Asin(0.4898)=29.33°

(4)圖E2.2.3為利用電腦程式計算結果及圖示。

圖E2.2.3電腦程式計算結果及圖示

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