空間平面與等角度投影

空間平面方程式與等角度投影

(空間平面系列之三)

1.前言

傳統之等角度或等面積投影，需利用已繪製完成之投影網圖，繪圖作業及資料處理不甚方便，尤其是在處理平面繞傾斜軸旋轉投影作業時，既費時費力，也容易出錯。為配合P.C電腦作業，因此筆者早在1987(現代營建88~90期)曾推導出等角度及等面積投影之基本公式，為讀者提供一套既完整又清晰之觀念，並能對圖解法答案之校核或對岩坡穩定問題及構造地質學之研究，有所助益。所謂等角度投影(Equal angle projection)亦稱立體投影(Stereographic projection)，或稱伍爾夫投影(Wulff projection)；至於等面積投影(Equal area projection)，亦稱之為施密特法(Schimidt method)。

2.等角度投影

今如假定通過參考球體中心之赤道面圖2.1）為投影水平面，則投影水平面與參考球體相交之軌跡稱之為投影基圓(Primitive circle)。根據定義：等角度投影為代表空間向量之A點(圖2.1)及天頂(Zenith)T點[單位球體座標(0,0-1)]連線，與通過參考球體球心之水平面(基圓)相交於A點，此A點即為A點之等角度投影點。若將參考球體上大圓圓周每一個點與球體天頂T連接，則各連接線圍成一圓錐體（基圓通過球心），此圓錐體與投影水平面相交之處為圓。如僅考慮下半球之投影，則參考球體大圓與投影平面相交部分為圓弧，此圓弧即為下半球球體投影之全景軌跡投影(Cyclographic projection)。今假定取通過球心O(0,0,0)，並包含圖2.1中任意向量OA之垂直平面如圖2.2所示者，因任意向量OA之傾向為p，傾角為q，OP為垂直不連續面之單位法線向量，則依等角投影之定義，A，P分別代表向量OA及 OP水平面之投影位置。如令OA=〔x,y,z〕=[cos(p)cos(q),sin(p)cos(q),sin(q)]…………………(2.1)

又令參考球體半徑為1單位長度，則

｜OA｜=tan(45°-)………………(2.2)

假設A(x,y,z)點在投影水平面之投影點A之座標為(x,y,0)，則

　ｘ²＋ｙ²=tan²(45°- )=……………………………………(2.2)

因T(0,0,-1)、A、A三點共線，可求得：

故x=± (下半球投影，z>0 取正號，z<0 取負號)…… (2.3a)

x=cos(p)tan(pi/4-q/2) …… (2.3b)

y=± (z>0 取正號，z<0 取負號……(2.3c)

y=sin(p)tan(pi/4-q/2) …… (2.3d)

式(2.3)為空間任意點A(x,y,z)等角度投影至赤道平面上點A(x,y,0)基本之轉換公式，如為上半球投影，則依式(3.4)所計算出之x，y必須變號。公式2.3為可逆性(Reversible)公式，由投影座標x，y則可反算x,y,z。

x=2x/(1+x+y)……(2.3e)

y=2x/(1+x+y)……(2.3f)

z=(1-x-y)/(1+x+y)……(2.3g)

圖2.3為利用式(2.3)所求出之投影後大圓圓心、極點及傾向位置點之綜合示意圖。

圖2.1平面等角度投影關係示意圖

圖2.2任意向量等角度投影示意圖

圖2.3等角度圓心、極點及傾向投影示意圖

空間平面上單位球體上大圓之任意座標(x,y,z)可利用公式(2.3)將其一一投影至水平面上，連接所有之投影點即為所求之等角度投影投影大圓，或利用公式(2.4)直接繪製。

(x-)+(y-)=……………………………(2.4)

上式中[a,b,c]為通過球心之平面ax+by+cz=0之單位朝下法線向量。

另觀察如圖2.4中，假設不通過圓心之任意平面ABC與單位球體所截之圓上任意單位位置向量d，e為垂直於平面ABC之單位向量，

e =〔e,e,e〕……………………………(2.5)

圖2.4不過圓心平面(小圓)投影關係示意圖

d =〔d,d,d〕=〔cospcosq,sinpcosp,sinq〕…………(2.6)

如d繞e旋轉，由e．d=cos關係可得：

(x-)+(y-)=()………(2.7)

式(2.7)中如=90°，則e=[a,b,c]，則式(2.7)同式(2.4)，此即表示大圓等角度投影為小圓等角度投影之特例。

3.等角度投影網電繪製原理介紹

不論是單位向量或大小圓等角度投影圖繪製，都可利用投影基本公式直接作業。唯如等角度投影圖網，或等面大小圓投影圖及投影圖網繪製，或構造地質學、岩坡工程學向量(平面)旋轉等之圖解法作業中，在過去電腦並不普遍之年代，是相當費時費力且容易出錯，精確度亦不高。此類投影圖之電腦繪製工作，過去都是非常專業的，也非常神秘，尤其是繞傾斜軸旋轉者，更是珍貴的不得了(好像是屬專賣？)。但所謂『江湖一點訣，說破不值一文錢』，讓筆者說給您知道，其實只要利用平面方程式再加上一點小技巧，您也可以自己動手D.I.Y一番。如圖3.1中之任意平面(小圓)方程式為：ax+by+cz=d，(=1.0，=1.0)，與大圓(方程式ax+by+cz=0)。今如欲繪製小圓之圖像及其對應之等角度(或等面積)小圓之投影網圖時。因任意平面單位法線向量= [a,b,c]為已知，平面上任意向量為

[x,y,z]=[cos(p)cos(q),sin(p)cos(q),sin(q)] …………………(3.1)

，因[a,b,c]‧[x,y,z]=cos(θ)，可得： acos(p)cos(q)+bsin(p)cos(q)+csin(q)=cos(θ)=d…………………(3.2)

公式(3.2)中cos(θ)已知，如令l=acos(q)，m=bcos(q)，n=cos (θ)-csin(q) ，利用三角函數公式：= ，假定q=t°，可求出對應之p值。

代入公式(4.2)可求出[x,y,z]，然後假定q=2t°，q=3t°，…………………，可求出各對應之[x,y,z]。將所有之[x,y,z]代入等角度[公式(2.3)*]中，可得對應之投影點(x, y)，即

x=±，y=±(z>0取正號，z>0取負號) ，

以圓滑曲線連接各投影點後，對應之圖示即為所求。

圖3.1任意平面與單位球體相交圖形示意圖

上述求解亦可改先假定p然後求q，其餘步驟與假定q後求p相似。

前面兩種求(p,q)、[x,y,z]及(x, y)方法在平面接近鉛垂時(即法線接近水平)，會發生(p,q)解答困難或誤差甚大之情形。為解決前述缺憾，首先求出一個(p,q)及對應之[x,y,z]值後，利用向量繞任意軸旋轉公式，將向量Op繞OT旋轉(5°或10°)，求其旋轉後之[x,y,z]及(x, y)，依相同程序旋轉2，3，…………，n=360°。連接所有之(x, y)即為所求之小圓投影。

Oq=[x,y,z]=( Op‧r)(1-cos)r+cos( Op )+sin( Op×r)………(3.3)

至於包含Op及TT’之大圓平面OTpT’，亦可以比照小圓投影方式，以Op為起點旋轉一周，求對應之[x,y,z]及(x, y)，連接所有之(x, y)即為所求之大圓投影。解合乎ax+by+cz=d，=1.0，=1.0三方程式之任意點座標(x,y,z)VB電腦程式，您可上網站http://www.chday169.url.tw下載Sub OnePointOnUnitsphere)或Sub PointOnUnitsphereGiven1Variable()。

圖3.2及圖3.3分別為2x+4y+2z=0平面小圓及2x+4y+2z=5平面大圓的全軌跡投影(紅色線條，藍色為基圓)。

圖3.2等角度投影((2x+4y+2z=0) 圖3.3等角度投影((2x+4y+2z=5)

圖3.4即為利用前述方法利用電腦所繪製之等角度投影網(旋轉軸090/0.01)，圖3.5為旋轉軸080/30等角度投影網，表3.1為利用Excel VBA為130/60，ψ=90的平面大圓等角度投影(全軌跡下半球投影)，表3.2為130/60，ψ=50的平面小圓等角度投影(全軌跡下半球投影)。

圖3.4電腦繪製之等角度投影網(旋轉軸000/0.01) 圖3.5電腦繪製之等角度投影網(旋轉軸080/30)

表3.1 130/60ψ=90平面大圓等面積投影Excel試算表

表3.2 130/60ψ=50平面小圓等角度投影Excel試算表

如圖3.5為130/30大圓投影圖，有關其與走向N40側傾角、視傾角的量測，除可以圖中座標，依公式計算外，如依投影網，側傾角則沿基圓圓周(360°係均勻分佈)量測，視傾角則以投影網縱橫軸為為尺規，量測時將大圓走向與南北軸重疊(詳圖3.6)，然後量測東西軸大圓傾向與投影網圓周間角度。

圖3.5 130/30大圓投影與走向N40視傾角、側傾角關係圖

圖3.6 130/30大圓投影與走向N40視傾角、側傾角量測

4.等角度性質

依據等角度投影之原理，空間任意兩平面(向量)，投影後該兩平面之夾角(方向)保持相等(此特性在向量解法或圖解法求岩楔頂點座標時非常重要)，而參考球體上之面積經投影後形狀雖無改變，但面積則有所改變。等角度投影之大圓、小圓及摩擦錐等投影都屬圓曲線，因此製圖簡單又方便。表4.1為兩平面3D夾角與等角度、等面積投影後夾角變化。圖4.1為等角度投影後投影曲線間夾角變化；圖4.2為圓錐角20°時摩擦錐之等角度投影變化。綜合前述討論後，可將等面積投影與等角度投影性質綜合歸納如表4.2所示，表4.2中α、β代表向量之傾向與正傾角，任意向量之傾向及傾角則另以p、q代表。空間座標(X,Y,Z)經投影後之平面座標則以(x、y)表示，基圓之半徑均假定為1個單位長度。

表4.1 空間3D及2D夾角變化

平面1	平面2	3D夾角(°)	投影等角度圖解夾角(°)
354/50	288/41	46.41	46.45
354/50	316/65	35.04	35.06
354/50	090/34	60.78	60.89
288/41	316/65	32.44	32.52
288/41	090/34	73.93	73.96
316/65	090/34	90.10	89.89

圖5.1等角度投影平面夾角

圖4.2等角度投影小圓面積變化

表4.2 等角度投影性質綜合表

項次	性質	等角度投影
1	投影性質不變者	角度
2	投影性質改變者	面積
3	投影後圖形	圓
4	向量(線)投影圖形	點
5	球體大圓投影後	圓
6	球體小圓投影後	圓
7	控制方程式	x =±X/(1+): y =±Y/(1+)
8	投影座標原點至傾向投影點距離	tan(45°-)
9	走向投影座標至極點投影點距離	tan()
10	走向投影後	x =cos(): y =sin()
11	傾向投影後	x=cos(α)tan(45°-): y=sin(α)tan(45°- )
12	極點投影後座標(下半球)	x=-cos(α)tan(): y=-sin(α)tan( )
13	任意向量p/q投影點座標	x=cos(p)tan(45°-): y=sin(p)tan(45°- )
14	投影後曲線	(x-)+(y-)=
15	小圓投影曲線	[x-]+[y-]=[]
16	大圓投影求兩向量3D夾角	cos()= *
17	等角度小圓投影求兩向量3D夾角	sin()=