空間平面方程式與等面積投影
(空間平面研究系列之四)
1.前言
傳統之等角度或等面積投影，需利用已繪製完成之投影網圖，繪圖作業及資料處理不甚方便，尤其是在處理平面繞傾斜軸旋轉投影作業時，既費時費力，也容易出錯。為配合P.C電腦作業，因此筆者早在1987(現代營建88~90期)曾推導出等角度及等面積投影之基本公式，為讀者提供一套既完整又清晰之觀念，並能對圖解法答案之校核或對岩坡穩定問題及構造地質學之研究，有所助益。所謂於等面積投影(Equal area projection)，亦稱之為施密特法(Schimidt method)。
2.等面積投影
參考球體球表面上兩面積相等任意圖像，以等面積投影方式投影至赤道面後，其面積比投影前後保持相等，如赤道面之基圓半徑與參考球體半徑相等時，則其等面積投影前後面積比應恒保持2:1之定值。根據定義：為任意向量OA=〔x
,y,z〕，如以T
點(參考球體最低點，圖2.1)為圓心，TA為半徑，向下畫弧與通過T之水平面相交於點B，過A作鉛垂線交投影水平面於A點，如取TA”=TA/
時，則A”即為OA在水平面之等面積投影點。取通過球心O(0,0,0)並包含任意向量OA之垂直平面如圖2.1所示。圖中連接AT[T為天頂，T(0,0-1)]，因OA=〔x,y,z〕，T點之座標為(0,0,1)，假設B點之座標為(
,,1)及A”點之座標為(x,y,1)，TA=
TB=
2sin(45°-
)，由
比例、T，A及B三點共線與等面積投影定義可得：
故x=±
(下半球投影，z>0 取正號，z<0
取負號)…… (2.1.a)
或x=
………(2.1.b)
y=±
(z>0 取正號，z<0
取負號……(2.1.c)
或y=
………(2.1.d)
式(2.1.a)及(2.1.c)為有可逆性，由投影座標可反算原空間單位向量座標(x,y,z)：
x=x
………(2.1.e)
y=
y………(2.1.f)
z=1-x
-y………(2.1.g)
圖2.1球體等面積投影關係示意圖
式(3.1)為空間任意點A(x
,y,z)等面積投影至赤道平面A
(x,y,0)之基本轉換公式。如同等角度立體投影,因為OA為不連續面上之任意向量(p，q為變數)，其與不連續面單位法線互相垂直，可得
(ax+by)=-c(1-x²-y²)…………(2.2.a)
，及
(2-x-y)(ax+by)=c(1-x-y)…………(2.2.b)
式(2.2)為兩元四次方程式，當a=b=0時，其圖形為圓，當a≠b時，其圖形為橢圓形。式(2.2)之圖形(圖2.2兩元四次曲線)之求解及繪製相當繁複，需藉電腦計算。為方便讀者，作者已將其撰寫成電腦程式以減少計算工作，使用上相當方便。一般下半球之投影代表SBS之二元四次橢圓形曲線，與通過S、B及S三點之圓弧偏離不大，多在可接受之範圍內，因此可以通過S、B及S三點之圓弧，代替該二元四次橢圓形曲線，則該代替圓弧之圓心位置(h，k)及半徑約為
h=-
…………(2.3.a)，
k=-
…………(2.3.b)，
r=
…………(2.3.c)，
即代替圓之公式為 (x-h)²+(y-k)²=r²…………(2.4)
圖2.2任意平面等面積大圓投影示意圖
與等角度小圓投影理論相似，等面積投影小圓之投影公式為：
(e
x+e
y)+e
(1-x-y)=cos
………(2.5)
3.等面積投影網電繪製原理介紹
不論是單位向量或大小圓等角度投影圖繪製，都可利用投影基本公式直接作業。唯如等角度投影圖網，或等面大小圓投影圖及投影圖網繪製，或構造地質學、岩坡工程學向量(平面)旋轉等之圖解法作業中，在過去電腦並不普遍之年代，是相當費時費力且容易出錯，精確度亦不高。此類投影圖之電腦繪製工作，過去都是非常專業的，也非常神秘，尤其是繞傾斜軸旋轉者，更是珍貴的不得了(好像是屬專賣？)。如圖3.1中之任意平面(小圓)方程式為：ax+by+cz=d，(
=1.0，
=1.0)，與大圓(方程式ax+by+cz=0)。今如欲繪製小圓之圖像及其對應之等角度(或等面積)小圓之投影網圖時。因任意平面單位法線向量=
[a,b,c]為已知，平面上任意向量為
[x,y,z]=[cos(p)cos(q),sin(p)cos(q),sin(q)] …………………(3.1)
，因[a,b,c]•[x,y,z]=cos(θ)，可得： acos(p)cos(q)+bsin(p)cos(q)+csin(q)=cos(θ)=d…………………(3.2)
公式(3.2)中cos(θ)已知，如令l=acos(q)，m=bcos(q)，n=cos
(θ)-csin(q) ，利用三角函數公式：
=
，假定q=t°，可求出對應之p值。
代入公式(4.2)可求出[x,y,z]，然後假定q=2t°，q=3t°，…………………，可求出各對應之[x,y,z]。將所有之[x,y,z]代入等面積[公式(3.2)]中，可得對應之投影點(x
,
y)，即x=±，y=±(z>0取正號，z>0取負號)
以圓滑曲線連接各投影點後，對應之圖示即為所求。
圖3.1任意平面與單位球體相交圖形示意圖
上述求解亦可改先假定p然後求q，其餘步驟與假定q後求p相似。
前面兩種求(p,q)、[x,y,z]及(x,
y)方法在平面接近鉛垂時(即法線接近水平)，會發生(p,q)解答困難或誤差甚大之情形。為解決前述缺憾，首先求出一個(p,q)及對應之[x,y,z]值後，利用向量繞任意軸旋轉公式，將向量Op繞OT旋轉(5°或10°)，求其旋轉後之[x
,y,z]及(x,
y)，依相同程序旋轉2，3，…………，n=360°。連接所有之(x,
y)即為所求之小圓投影。
Oq=[x,y,z]=(
Op•r)(1-cos)r+cos(
Op )+sin(
Op×r)………(3.3)
至於包含Op及TT’之大圓平面OTpT’，亦可以比照小圓投影方式，以Op為起點旋轉一周，求對應之[x,y,z]及(x,
y)，連接所有之(x,
y)即為所求之大圓投影。解合乎ax+by+cz=d，=1.0，=1.0三方程式之任意點座標(x,y,z)VB電腦程式，您可上網站http://www.chday169.url.tw下載Sub
OnePointOnUnitsphere)或Sub PointOnUnitsphereGiven1Variable()。
圖3.2為2x+4y+2z=0平面大圓的全軌跡投影；圖3.3為2x+4y+2z=5平面小圓的全軌跡投影(紅色)，圖中藍色為基圓。
圖3.2等面積投影((2x+4y+2z=0) 圖3.3等面積投影((2x+4y+2z=5)
圖3.4即為利用前述方法利用電腦所繪製之等面積投影網(旋轉軸090/0.01)，圖3.5為旋轉軸090/0.01等面積投影網，圖3.6為旋轉軸080/30等面積投影網。表3.1及3.2為利用Excel VBA 計算平面130/60，ψ=90及ψ=50的平面大圓、小圓面積投影(全軌跡下半球投影)及示圖。
圖3.5電腦繪製之等面積投影網(旋轉軸000/0.01) 圖3.6電腦繪製之等面積投影網(旋轉軸080/30)
表3.1 130/60ψ=90平面大圓等面積投影Excel試算表
表3.2 130/60ψ=50平面小圓等面積投影Excel試算表
4.等角度與等面積投影特性比較
依據等角度投影原理，則投影後面積卻保持固定比例，因此在位態等密度圖繪圖作業上，比等角度投影優異。表4.1為兩平面3D夾角與等角度、等面積投影後夾角變化。圖4.1為等角度及等面積投影後投影曲線間夾角變化；圖5.2為圓錐角20°時摩擦錐之等角度投影及等面積投影變化。綜合前述各章節之討論後，可將等面積投影與等角度投影之相似性及相異性歸納如表5.3所示，表5.3中α、β代表向量之傾向與正傾角，任意向量之傾向及傾角則另以p、q代表。空間座標(X,Y,Z)經投影後之平面座標則以(x、y)表示，基圓之半徑均假定為1個單位長度。
表4.1 空間3D及2D夾角變化
|
平面1 |
平面2 |
3D夾角(°) |
投影等角度圖解夾角(°) |
投影等面積圖解夾角(°) |
|
354/50 |
288/41 |
46.41 |
46.45 |
36.20 |
|
354/50 |
316/65 |
35.04 |
35.06 |
32.40 |
|
354/50 |
090/34 |
60.78 |
60.89 |
45.64 |
|
288/41 |
316/65 |
32.44 |
32.52 |
32.19 |
|
288/41 |
090/34 |
73.93 |
73.96 |
50.73 |
|
316/65 |
090/34 |
90.10 |
89.89 |
73.06 |
圖5.1.a等角度投影平面夾角 圖5.1.b等面積投影平面夾角
圖5.2.a等角度投影小圓面積變化 圖5.2.b等面積投影小圓面積變化
表5.2.a 等角度投影及等面積投影性質比較
|
項次 |
等角度投影 |
等面積投影 |
|
|
1 |
投影性質不變者 |
角度 |
面積 |
|
2 |
投影性質改變者 |
面積 |
角度 |
|
3 |
投影後圖形 |
圓 |
二元四次橢圓曲線 |
|
4 |
向量(線)投影圖形 |
點 |
點 |
|
5 |
球體大圓投影後 |
二元四次橢圓曲線 |
|
|
6 |
球體小圓投影後 |
圓 |
二元四次橢圓曲線 |
|
7 |
控制方程式 |
x
=±X/(1+
y
=±Y/(1+ |
x
=±X/
y
=±Y/ |
|
8 |
投影座標原點至 傾向投影點距離 |
tan(45°- |
|
|
9 |
走向投影座標至 極點投影點距離 |
tan( |
|
|
10 |
走向投影後座標 |
x =cos(
y
=sin( |
x =cos(
y
=sin( |
|
11 |
傾向投影後座標 |
x=cos(α)tan(45°-
y=sin(α)tan(45°- |
x= y= |
|
12 |
極點投影後座標 (下半球) |
x=-cos(α)tan(
y=-sin(α)tan( |
x=-
y=- |
|
13 |
任意向量p/q投 影點座標 |
x=cos(p)tan(45°-
y=sin(p)tan(45°- |
x=
y= |
|
14 |
平面投影後曲線 方程式 |
(x- |
|
|
15 |
小圓投影曲線 |
[x-
[y-
=[ |
|
表5.2.b 等角度投影及等面積投影性質比較
|
項次 |
性質 |
公式 |
|
1a |
等角度大圓投影求兩向量3D夾角 |
cos( |
|
1b
|
等面積大圓投影求兩向量3D夾角 |
cos( |
|
2a |
等角度小圓投影求兩向量3D夾角 |
sin(
|
|
2b |
等面積小圓投影求兩向量3D夾角 |
sin(
|
*
t
=1+x
+y；t
=1+x
+y，θ為圓錐角之半
如3D向量座標為[(x
,y,z),i=1,2]，其對應之投影座標為(x
,y,0)，
則空間中之任意兩個向量之夾角
與等面積2D圖上之圓心角
間之關係，表5.2.b中角度關係亦可以下列公式表示
cos=AAcos+BB
A=
B=1-x
-y=z(i=1~2)
)
/2)=±X/
)
)
)
)
]
]
]
*
(x
)=
