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2014年10月24日 |
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C.H.,Day 對不起,本篇文章原計畫由台灣省土木技師公會技師報刊登,可能是技師報稿擠,久未能蒙因為保護技師報權益,本文俟技師報刊登,再補實.讓您等太久,真的非常對不起. 地質圖V字形法則解說 (平面方程式應用研究之0) 戴清河編著 1. 前言 台灣省土木技師公會技師報No.883曾刊載潘國樑博士大著『他山之石，看圖說故事-如何判斷岩層的傾向』，介紹如何利用”V”字形法則，判讀航照地圖岩層傾向。”V”字形法則是甚麼？並非三言兩語就可說明白，在此筆者嘗試以簡單平面方程式ax+by+cz=d來解答所謂”V”字形法則，就算是狗續尾貂吧？ 很多人多知道ax+by+cz=d這個空間平面方程式。但可能有不少人，不曾去好好思考它的真正意涵及功能。其實如果您能徹底瞭解後並善用它，很多工程地質問題諸如：(1)等角度及等面積投影及投影網，(2)視傾角、側傾角計算，(3)地質構造線觀測，(4)地質滑距，(5)岩心鑽探求岩層位態(走向-傾角，傾向/傾角)，(6)出露地質圖電腦繪製，(7)構造平面繞任意軸旋轉及傾覆(Tilt problem)，(7)正交投影，(8)等軸投影，(9)礦脈蓄藏量計算；岩坡工程之(10)摩擦錐，(11)多面體岩體楔形滑動穩定及經濟性分析，(12)隧道(礦場)開挖側壁及坑頂落磐計算及預測；及(13)工業用之任意多面體物件切割座標及面、體積計算等，只要與3D空間座標有關之問題，利用平面方程式多能輕易解決。 限於篇幅，本文僅先討論如何利用平面方程式解答地質圖”V”字形法則。
2.座標系統
如圖2.1與3度空間問題有關之岩層分析計算，可假定x為水平面(或赤道面)上指北(N)座標，y為水平面上指東(E)座標，z則為垂直x、y平面之朝下座標，且x、y、z互相垂直並成右手螺旋定則。傾角方向(α，Dip direction)或稱傾向即傾斜平面上物體沿斜坡自由滑動之水平投影方向，與走向垂直。α以順時針方向由北起算為正，傾角(Dip)β則為x、y水平面與任意直線向量或不連續面傾向向量(Dip vector)之夾角，夾角由水平面向下量測為正。則通過半徑長1單位之參考球體(Reference sphere，x^2+y^2+z^2=1.0)球心O(0,0,0)之任意直線或不連續面朝下單位位置向量(Unit position vector)在x、y、z三軸之分量，如以球體座標(1，α，β)表示為 x=cosαcosβ y=sinαcosβ z=sinβ 其單位位置向量r (即平面之單位傾向向量，以下同)， r=[x,y,z] =[cosαcosβ,sinαcosβ,sinβ]……………(3.1) 而垂直於該不連續面或直線之單位向量(Unit normal vector)n應為 n =±〔a,b,c〕=±〔cosαsinβ,sinαsinβ,﹣cosβ〕……(3.2) 因n．r =0，故ax+by+cz=0，此表示通過參考球體球心之不連續面平面方程式。 n朝上取正號(即c為負值)；朝下取負號(即c為正值)。 Excel圖表中或VB畫圖作業中，x軸多以水平軸指右為正，y軸朝北為正，按右手螺旋定則，則z軸指向天空為正，如n，採用n=〔a,b,c〕=〔-cosαsinβ,-sinαsinβ,cosβ〕。以Excel或VB繪製等高線時，因座標系統採用右手螺旋定則(z朝上為正)，計算岩層平面方程式及露頭計算、繪圖時，應將原有傾向(α)改以(450-α)°，傾角則保持不變(參考圖2.2，因此原180/30在Excel或VB繪圖時應改為270/30)。如下表第1列為以x指北(一般計算)，第2列為以x指東(電腦繪圖)，電腦繪圖時以第2列為準，或將第1列x，y及a，b互換。
圖2.1直角座標系統示意圖
圖2.2岩層傾角繪圖角度關切示意圖 3.平面方程式簡介 首先考慮如圖3.1所示之平面PL-E上一定點S(xs,ys,zs)，及另一動點P(x,y,z)，如座標原點在O(0,0,0)，則向量OS=[xs-0,ys-0,zs-0]，OP=[x-0,y-0,z-0]，PL-E上之任一位置向量為R， i.e., R=PS=[x- xs,y-ys,z-zs]，今有一垂直於PL-E之法線向量N =[A,B,C] ，則因R在PL-E上，且 N 與R互相垂直，即N•R =Cos(90°)=0， i.e A(x-xs)+B(y-ys)+C(z-zs)=0，即 Ax+By+Cz= A*xs+B*ys+C*zs如令 D=A*xs+B*ys+C*zs則 Ax+By+Cz=D……………… (3.1)
上式代表N與R所定義之空間平面方程式，如令L=(A^2+B^2+C^2)，另假設a=A/L，b=B/L，c=B/L及d=D/L，則平面方程式可改寫成： ax+by+cz=d……………… (3.2) 如令單位法線向量n=[a.b.c]，單位位置向量r=[x,y,z]，單位法線向量與單位位置向量夾角φ=Acos(d)，則 n?r= cos(φ) ……………… (3.3) 方程式(3.3)可視為n繞r旋轉360°或r繞n旋轉360°。方程式(3.1)中，如z(高程)= k(常數)時，空間平面方程式Ax+By+Cz＝D，可化為Ax+By =D-Ck=E之直線系(等高線)方程式，i.e. Ax+By=E……………… (3.4)
上述直線系代表不連續面之走向方程式，如要以向量(取方位角較小之方向)表示時，為L=[-B,A,0]。式(3.4)微分可得：(
4.如何利用兩平面交線解釋V字法則 為便利解說，假定有如圖4.1之3D示意圖，AB’CD為朝下之右側河谷平面(位態為didRiver/dipRiver)，河谷地形以中心線左右對稱，河床坡度均勻。其單位法線向量為[nARiver,nBRiver,nCRiver]，bcdefgh為岩層構造面(didRock/dipRock)，單位法線向量為[nARock, nBRock, nCRock]。PAB’EQ及RDC’S為高度z1及z2等高線。岩層在點d出露(daylight)，即河谷平面與在岩層平面在d處高程相同(詳圖4.2)，出露點d座標(dayX,dayY,dayZ)已知，右河谷平面之d值(nDRiver) nDRiver= nARiver*dayX + nBRiver*dayY + nCRiver*dayZ ；岩層構造面之d值(dRock) dRock= nARock*dayX + nBRock*dayY + nCRock*dayZ nDRive, dRock值已知且兩者不全為0之河谷及岩層平面交線為惟一(unique)者。
(a)出露線與等高線斜交
(1)假設岩層在右河岸AD延長線出露點之x座標已知為xBankDay，y座標yBankDay可由兩平面出露處高度相等(如圖4.2點d)，即 (nDRiver-nARiver*xBankDay- nBRiver*yBankDay)/nCRiver= (nDRock-nARock*xBankDay- nBRock*yBankDay)/nCRock 由上述等式解出ybankDay。 (2)解出yBankDay後，將xBankDay及yBankDay代入岩層平面方程式後，可解出zBankDay zBankDay=(nDRock-nARock*xBankDay- nBRock* YbankDay)/nCRock (3)岩層在河谷中心線CB’延長線之出露點座標(xCenDay,yCenDay,zCenDay)，因xCenDay已知，可依上述步驟(1)，(2)解出。
圖4.1 河谷地形與岩層構造面關係示意圖(一) (4)繪製(xBankDay, yBankDay)及(xBankCen, yBankCen)2D岩層出露直線。 (5)繪製河谷河岸線(xBankCon)及中心線(xCenCon)地形已知高程z=Zg之等高線，因xBankDay=xBankCon及xCenDay=xCenCon，故 yBankCon=(nDRiver-nARiver*xBankCon- nCRiver* Zg)/nBRiver yCenCon=(nDRiver-nARiver*xCenCon- nCRiver* Zg)/nBRiver (5)比較岩層出露直線及地形等高線分佈圖示，即可判定V字尖端之指向。 (6)上述計算及圖形繪製，可設計簡單之Excel試算表或電腦程式代勞，圖4.3為Excel試算表圖示，表中淺籃藍色儲存格為資料輸入；藍色為需要之計算成果。變化岩層之dipRock值，可求解不同之岩層之dipRock出露線變化。 (7)圖4.4~圖4.11為Excel示圖，圖4.12為利用電腦程式繪製之3D透視及2D平面圖示。 (8)表4.1為出露線計算(利用Excel VBA)綜合表。
圖4.2 河谷地形與岩層構造面關係示意圖(二)
圖4.3岩層平面270/0及河谷平面195/20 “V”字形示圖
圖4.4岩層平面270/30及河谷平面195/20 “V”字形示圖 圖4.5岩層平面180/60及河谷平面195/20 “V”字形示圖
圖4.6岩層平面180/90及河谷平面195/20 “V”字形示圖 圖4.9岩層平面180/120及河谷平面195/20 “V”字形示圖
圖4.10岩層平面180/150及河谷平面195/20 “V”字形示圖 圖4.11岩層平面180/180及河谷平面195/20 “V”字形示圖
表4.1出露線計算綜合表
圖4.12 “V”字形3D透視及2D平面圖示
(b)出露線與河谷中心線相互平行
岩層出露線如在右河谷(dayX, dayY, dayZ)出露，並與谷中心線平行，即圖 4.2中之cde(岩層出露線)與河谷中心線或河岸線平行。 (1)假設河床平面單位法線向量[nARiver,nBRiver,nCRiver]及出露點座標(dayX, dayY, dayZ)均已知，故dRiver= nARiver*dayX + nBRiver*dayY + nCRiver*dayZ，可在河床平面上選取不共線3點(可以是兩點在出露線上下)求解平面位態(屬平面上不共線3點求位態問題)。 (2)岩層平面位態dipRock=Acos(nCRiver)，如利用VB程式計算為didRock=Atan2(nARock,nBRock)；Excel則為aTan2(nARock,nBRock)。 (3)因didRock與didRiver並不一致，可計算河谷平面在didRock傾向方向之視傾角，方便與岩層之dipRock比較大小。
圖4.13 河床平面195/20岩層165/20時出露示圖
5.結論及建議
觀察前述Excel計算結果及示圖，綜合歸納後所作之結論，可得”V”字形法則如下： (1)岩層構造線與谷底線傾向方向相同時，(a)構造線傾角大於谷底線傾角時，兩者”V”字形上下顛倒(圖5.1(e))；(b)相等時構造線為與谷底線平行成兩帶狀直線(圖5.1(d))；(c)構造線傾角為90°時與谷底線垂直成一帶狀直線(圖5.1(f))。 (2)岩層構造線與谷底線傾向方向相反時，構造線形狀與等高線類似(即等高線為倒”V”字形，則構造線亦為倒”V”字形)，(a)構造線傾角等於等高線傾角，兩者完全平行(圖5.1(b))，(b)構造線傾角愈大時其形狀上下愈扁平(圖5.1(a)；(c)反之構造線傾角愈小，上下愈高大(圖5.1(c))。
圖5.1 V字法則示意圖(頂部傾斜)
圖5.2 V字法則示意圖(頂部水平)
我們多知道，由於表土覆蓋土層之存在，致其下之基岩無法出露地表，因此製作基岩地質圖，僅能依據部份露頭資料，經過專業地質師之分析、研判後，方能對該地區作全盤性之詮釋。在製作地質圖時，地層之位態資料愈詳實，則所製作之地質圖愈精準。地層為一個有厚度之層狀分佈，如果地表為一傾斜平面，則兩者之交線，為由多數折線組成之規則帶狀分佈；反之如地表為起伏不平曲面時，則地表與岩層之交界，必呈不規則之帶狀分佈，地層與等高線之關係，可以V字形法則規範。地層露頭地質圖，可設計電腦程式繪製，此部份有機會當另文介紹。
影音檔可上網連結http://youtu.be/rHZhnBZwCCs 。
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上次修改此網站的日期： 2014年10月24日
